Что такое динамика в статистике для детей. Ряды динамики, их значение
Одной из важных задач статистики является изучение развития процессов и явлений во времени. Эта задача и решается с помощью построения рядов динамики.
Ряд динамики – это ряд расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих изменение величины общественных явлений во времени.
Правильно построенный динамический ряд состоит из сопоставимых статистических показателей. Для этого необходимо, чтобы состав изучаемой совокупности был один и тот же на всем протяжении ряда, т.е. относился к одной и той же территории, к одному и тому же кругу объектов. Кроме того, данные ряда должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения, а промежутки времени между значениями ряда должны быть по возможности одинаковыми.
Виды рядов динамики:
В зависимости от того, к моментам или периодам времени привязываются статистические данные различают:
1. моментные ряды динамики - это когда уровни ряда динамики показывают состояние явления на определённый момент времени или на определенную дату.
Особенность моментного ряда динамики в том, что некоторые его уровни содержат элементы повторного счёта, т.е. каждый последующий уровень полностью или частично содержит в себе предыдущий уровень. Поэтому суммирование уровней моментного динамического ряда не имеет смысла, а имеет значение только разность уровней ряда.
Напр.: бессмысленно складывать численность работающих по состоянию на 1 января, 1 февраля, 1 марта и т. д. Полученная сумма ничего не выражает, т.к. в ней многократно повторяются одни и те же показатели.
интервальные ряды динамики - это когда уровни ряда
динамики характеризуют размеры общественных явлений за
определенные интервалы времени.
Уровни интервального ряда динамики могут быть суммированы.
В зависимости от вида статистических показателей ряды динамики подразделяются:
ряды динамики абсолютных величин . Они являются первоначальными, так как их получают при сводке материалов статистического наблюдения.
ряды динамики относительных величин . Такие ряды являются производными. Они характеризуют темпы динамики изучаемого явления, изменение его структуры интенсивности. Суммирование уровней в таких рядах не имеет смысла, а используется такие ряды для характеристики качественных изменений экономики.
ряды динамики средних величин. Э то ряды показателей, которые выражают средние значения изучаемого явления за определенные промежутки времени. Суммирование уровней в таких рядах не имеет смысла, а используются такие ряды для характеристики качественных изменений экономики.
Вопрос 15. Аналитические показатели рядов динамики.
При изучении динамики социально-экономических явлений рассчитывают аналитические показатели:
- абсолютные приросты;
темпы роста;
темпы прироста;
абсолютное значение одного процент прироста (снижения).
Рассчитываются эти показатели через абсолютное или относительное сравнение уровней динамического ряда.
Уровнем ряда называется абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Различают:
При этом сравниваемый уровень называется текущим , а тот уровень, а которым сравнивают - базисным.
Если сравнивается каждый последующий уровень с предыдущим, то получают цепные показатели динамики .
Если каждый уровень сравнивается с начальным, то получают базисные показатели динамики.
1. Абсолютный прирост – это разность двух уровней ряда динамики.
Он показывает, на сколько единиц данный уровень больше или меньше уровня, взятого для сравнения. Он выражается в тех же единицах, что и уровни ряда динамики.
Цепной абсолютный прирост () рассчитывается как разность
между текущим уровнем () и уровнем, который ему предшеству-
ет ():
Базисный абсолютный прирост ( У б ) рассчитывается как разность между сравниваемым уровнем () и уровнем принятым за базу сравнения ():
2. Темп роста – это отношение двух уровней ряда динамики.
Он показывает, во сколько раз больше или меньше или сколько процентов данный уровень составляет по отношению к другому уровню, взятому для сравнения. Темп роста может выражаться в коэффициентах или в процентах.
Цепной темп роста () – это отношение между текущими уровнями
() и предшествующим ():
Тц=( ;;…)
Базисный темп роста () - это отношение базисного абсолютного
прироста(У i) к базисному уровню (У 0):
Если темп роста меньше единицы, то имеет место не рост, а снижение анализируемого уровня.
3. Темп прироста - это отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения.
Он показывает на сколько процентов уровень данного периода боль
ше или меньше уровня, принятого за базу сравнения. Может вы
ражаться в коэффициентах.
Цепной темп прироста (∆Т ц ) - это отношение цепного абсолютного
прироста (∆ У ц к предыдущему уровню (У i -1):
∆Т ц= или ΔТц =Тц- 1
Базисный темп прироста (∆Т Б ) – это отношение базисного абсолют
ного прироста (∆ У Б) к базисному уровню (У 0) :
Темп прироста может быть как положительный, так и отрицательной величиной.
4. Абсолютное значение одного процента прироста (А) - это отношение абсолютного прироста за определенный период к темпу прироста за этот же период, выраженному в процентах.
Этот показатель раскрывает, какая абсолютная величина скрывается за один процент прироста:
А=или А= 0,01
Выражается абсолютное значение одного процента прироста или снижения в тех же единицах измерения, что и анализируемый уровень динамического ряда.
Между многими аналитическими показателями существует определенная взаимосвязь:
Сумма цепных абсолютных приростов за какой-то период времени, равна базисному абсолютному приросту за весь этот период:
∆ У= ∑ ∆ У Ц = У n - У 0
Разность между анализируемыми и предыдущим базисными абсолютными приростами даёт соответствующий цепной абсолютный прирост:
(У i -У 0)- (У i -1 -У 0)= У i - У i -1
Последовательное произведение цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах за определенный период времени даёт базисный темп роста за этот же период:
Отношение анализируемого базисного темпа к предыдущему даёт соответствующий цепной темп роста.
Динамика - это изменение социально-экономических явлений во времени. Для изучения динамики явлений строят и анализируют ряды динамики. Ряд динамики - это ряд значений статистического показателя, расположенных в хронологической последовательности. Составными элементами ряда динамики являются значения показателя, называемые уровнями ряда, и показатели времени - периоды или моменты времени, к которым относятся уровни. Если ряд динамики состоит из уровней, то его вид где - уровень ряда динамики в момент или за период времени Классификация рядов динамики представлена на рисунке 17.
Условия правильного построения ряда динамики:
- 1) периодизация развития, т.е. расчленение его во времени на однородные этапы, в пределах которых показатель подчиняется одному закону развития;
- 2) уровни ряда должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета;
- 3) уровни ряда должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов;
- 4) уровни ряда должны быть упорядоченными во времени.
При изучении рядов динамики перед статистикой стоят задачи: охарактеризовать интенсивность развития явления от периода к периоду (от дате к дате), а также среднюю интенсивность развития за исследуемый период, выявить основную тенденцию в развитии явления, осуществить прогноз развития на будущее, а также изучить сезонные колебания.
Рис. 17.
Показатели ряда динамики
Для характеристики интенсивности развития явления во времени исчисляются следующие показатели ряда динамики: абсолютные приросты, коэффициенты роста, темпы роста, коэффициенты прироста, темпы прироста, абсолютные значения 1% прироста. Их расчет основан на сравнении между собой уровней ряда. При этом сравниваемый уровень называют текущим (отчетным), а уровень, с которым производят сравнение, - базисным. Перечисленные показатели можно исчислить с переменной или постоянной базой. Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получают показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики).
Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или каким-то другим, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики).
База сравнения должна выбираться обоснованно, в зависимости от экономических особенностей явления и задач исследования. Формулы расчета показателей динамики представлены в таблице 17.
Таблица 17
Показатели ряда динамики
|
Показатель |
Базисный |
|
|
1. Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился или уменьшился уровень ряда по за тот или иной промежуток времени |
||
|
2. Коэффициент роста показывает, во сколько раз текущий уровень ряда больше базисного уровня (если коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы) |
||
|
3. Темп роста, % |
||
|
4. Коэффициент прироста |
||
|
5. Темп прироста, % показывает, на какую долю (или процент) уровень текущего периода больше (или меньше) базисного уровня |
||
|
6. Абсолютное значение 1% прироста показывает, сколько абсолютных единиц приходится на 1% прироста (уменьшения) |
Примечание. - уровень любого периода (кроме первого), называемый уровнем текущего (отчетного) периода. - уровень периода, предшествующий текущему. - уровень, принятый за постоянную базу сравнения (часто первый уровень).
Между цепными и базисными показателями абсолютного прироста и коэффициентов роста существует взаимосвязь:
Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели динамики. Формулы их расчета представлены в таблице 18.
Таблица 18
Средние показатели ряда динамики
|
Показатель |
Формула расчета |
|
1. Средний уровень ряда: для интервального ряда с равными интервалами |
|
|
для интервального ряда с неравными интервалами |
|
|
для моментного ряда с равными интервалами |
Комплексный анализ динамических рядов, как правило, включает не только расчет характеристик интенсивности изменения уровней ряда при переходе от одного момента или промежутка времени к другому (абсолютных приростов, коэффициентов и темпов роста и прироста), а также нахождение обобщенных средних характеристик (среднего уровня ряда, средних темпов роста и прироста), но и выявление основных закономерностей в развитии динамического ряда. Определение тенденции развития, построение модели, описывающей изменение явления во времени, прогнозирование явления - все это важнейшие задачи при изучении динамических рядов экономических и социальных показателей.
На формирование уровней динамического ряда влияет множество различных факторов, которые по характеру воздействия можно объединить в три группы:
- действующие долговременно и определяющие основную тенденцию развития явления;
- действующие периодически - сезонные и циклические колебания;
- вызывающие случайные колебания уровней динамического ряда.
Соответственно, для анализа закономерности изменения уровней ряда динамики во времени применяют следующую модель:
где Т t - основная тенденция ряда ( тренд );
S t - циклические (в частности, сезонные) колебания;
е t - случайные колебания.
В аддитивной модели ряд динамики представлен как сумма перечисленных компонент
, в мультипликативной модели - как их произведение
[
]. В дальнейшем будем исходить из предположения мультипликативной формы связи между компонентами ряда динамики.
Тенденцией развития, или трендом, называется сформировавшееся направление развития явления во времени под воздействием постоянно действующих факторов. Судить о наличии тенденции в динамическом ряду на основе его визуального анализа можно лишь тогда, когда четко видно, что при переходе от одного момента времени к другому уровни ряда возрастают или убывают. Однако, как правило, нельзя сразу сказать, есть или нет тенденция в изменении уровней динамического ряда. Для этого применяются специальные методы.
К методам выявления основной тенденции развития динамического ряда (Т t) относятся:
- метод укрупнения интервалов;
- метод скользящей средней;
- аналитическое выравнивание динамических рядов.
Рассмотрим их подробнее.
9.3.1. Метод укрупнения интервалов
Применение метода укрупнения интервалов рассмотрим на основе данных табл. 9.13.
| Месяц | Поставка товаров, млн руб. |
|---|---|
| Январь | 80 |
| Февраль | 78 |
| Март | 75 |
| Апрель | 80 |
| Май | 82 |
| Июнь | 85 |
| Июль | 87 |
| Август | 82 |
| Сентябрь | 85 |
| Октябрь | 84 |
| Ноябрь | 86 |
| Декабрь | 88 |
Как видим, визуальный анализ данных не позволяет сделать какие-либо выводы о наличии тенденции в данном динамическом ряду: в отдельные месяцы, например, в феврале, марте, августе, октябре и декабре, поставки товаров снижались по сравнению с предыдущими месяцами, в остальные периоды - возрастали.
Применим к исходным данным метод укрупнения интервалов, образовав новый динамический ряд с более крупными временными периодами - кварталами, и рассчитаем средний месячный объем поставок в каждом квартале (табл. 9.14).
Итак, по новым, более крупным интервалам уже четко видно, что значения исследуемого признака во временном аспекте имеют тенденцию к возрастанию.
Применение рассмотренного метода в основном ограничивается теми ситуациями, когда исходные данные относятся к дням, неделям или месяцам года, так как значения исследуемого признака по более мелким временным интервалам больше подвержены случайным колебаниям. Если временные промежутки представляют собой годы, то укрупнение интервалов становится малоэффективным.
9.3.2. Метод скользящей средней
Следующий способ выявления тенденции в динамическом ряду основан на расчете и анализе так называемых скользящих (подвижных) средних.
Скользящими (подвижными) средними называются средние арифметические значения показателя, исчисленные по новым m-членным укрупненным интервалам. Правила построения этих интервалов следующие. Первый из интервалов включает первые m уровней ряда динамики, второй интервал образуется путем исключения первого члена укрупненного интервала и замены его последующим элементом ряда динамики, имеющим номер (m + 1) и т.д. - до включения в интервал последнего уровня ряда. По вычисленным подобным путем подвижным средним делают вывод о существовании тенденции в динамическом ряду.
Если в качестве укрупненного интервала используют период в три месяца, то первая подвижная трехчленная средняя вычисляется как средняя арифметическая из данных за январь, февраль и март, вторая - как средняя арифметическая из данных за февраль, март, апрель и т.д. Значения подвижных средних относят к конкретному временному периоду, соответствующему середине укрупненного интервала.
Проведем сглаживание ряда методом скользящей средней по трем членам (табл. 9.15).
В нашем примере первая скользящая средняя относится к февралю, вторая - к марту и т. д.
В тех случаях, когда сглаживание проводится по четному числу уровней ряда динамики, середина временного интервала сглаживания будет находиться между двумя моментами (периодами) времени. Например, если проводить сглаживание по четырем членам, середина первого интервала будет находиться между февралем и мартом, второго интервала - между мартом и апрелем и т.д. В таких случаях возникает необходимость центрирования полученных результатов для отнесения сглаженных значений показателя к конкретным периодам или моментам времени. Расчет центрированных скользящих средних может проводиться в два этапа:
- определение скользящих сумм и нецентрированных скользящих средних по четному числу уровней ряда динамики;
- исчисление центрированных скользящих средних из двух смежных ранее исчисленных нецентрированных скользящих средних и отнесение их к соответствующим периодам или моментам времени.
Методика расчета центрированных скользящих средних показана ниже (табл. 9.16).
9.3.3. Аналитическое сглаживание (выравнивание) рядов динамики
Аналитическое выравнивание динамических рядов - это нахождение определенной модели (уравнения тренда), которая математически описывает тенденцию развития явления во времени. При этом уровни показателя рассматриваются только как функция от времени. В отличие от рассмотренных выше методов, таких, как укрупнение интервалов, скользящих средних, направленных в основном на то, чтобы ответить на вопрос: есть ли тенденция в динамическом ряду или нет, и определить ее направление, аналитическое выравнивание позволяет более точно установить характер развития явления, а главное - описать его математически, уловить все нюансы и направления развития и, что, пожалуй, наиболее интересно, использовать в дальнейшем полученную модель для прогнозирования.
Первым шагом в проведении аналитического выравнивания является выбор вида математической функции, которую предполагается использовать в качестве модели тренда. При этом можно руководствоваться формой кривой, полученной на основе отображения на графике эмпирических данных. Схема построения графика достаточно проста: по оси абсцисс откладываются временные периоды (даты), по оси ординат - значения уровней динамического ряда.
При анализе рядов динамики в качестве линии тренда чаще всего используются следующие функции:
Кроме того, возможности современного программного обеспечения (например, система STATISTICA) позволяют использовать в качестве модели тренда математическую функцию любого (задаваемого пользователем) произвольного вида.
Выравнивание по линейной функции (прямой). Выбор в пользу выравнивания по линейной функции производят либо по результатам графического анализа эмпирических данных, либо если уровни ряда меняются в арифметической прогрессии (в этом случае рассчитанные цепные абсолютные приросты уровней приблизительно одинаковы).
При выравнивании по линейной функции (прямой) используется уравнение вида
y t = a 0 + a 1 t,
где t - условный показатель времени.
Параметры уравнения определяются на основе метода наименьших квадратов путем решения системы нормальных линейных уравнений
В качестве примера рассмотрим динамический ряд, представленный в табл. 9.17.
| Год | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Доход банков от операций с ценными бумагами, млн руб. | 70 | 92 | 112 | 135 | 159 | 185 |
| Цепные абсолютные приросты | - | 22 | 20 | 23 | 24 | 26 |
Итак, рассчитанные нами цепные абсолютные приросты относительно постоянны, поэтому можно говорить о целесообразности выбора в качестве аналитической функции уравнения прямой.
При нахождении параметров уравнения показатель времени удобно обозначить так, чтобы выполнялось следующее равенство: . Для этого при нечетном количестве уровней ряда моменту (периоду) времени, находящемуся в центре ряда, придается значение t = 0, предыдущим - присваивают значения -1, -2, -3 и т.д. , а последующим - значения 1, 2, 3 и т.д. (т.е. с шагом 1 от середины ряда в одну и другую сторону от центра).
Предположим, что мы рассматриваем динамический ряд, имеющий пять уровней (за период с 2002 по 2006 г.), тогда условный показатель времени обозначим так, как это показано в табл. 9.18.
При четном количестве уровней в середине ряда находятся два момента (периода) времени. Одному из них присваивают значение t = -1, а другому t = +1. Тогда предыдущие моменты времени получают значения -3, -5 и т.д., а последующие значения - +3, +5 и т.д. (т.е. с шагом 2 в одну и другую сторону от центра).
При подобном способе обозначения времени система уравнений упрощается
Тогда коэффициенты уравнения а 0 и а 1 находят следующим образом:
Определим по данным табл. 9.17, в которой представлен ряд динамики с четным числом уровней, параметры уравнения прямой (табл. 9.19).
| Год | Доход банков от операций с ценными бумагами, млн руб., y | t | t 2 | yt | Выравненные значения, y t |
|---|---|---|---|---|---|
| 2001 | 70 | -5 | 25 | -350 | 68,43 |
| 2002 | 92 | -3 | 9 | -276 | 91,258 |
| 2003 | 112 | -1 | 1 | -112 | 114,086 |
| 2004 | 135 | 1 | 1 | 135 | 136,914 |
| 2005 | 159 | 3 | 9 | 477 | 159,742 |
| 2006 | 185 | 5 | 25 | 925 | 182,57 |
| Сумма | 753 | 0 | 70 | 799 | 753 |
Искомое уравнение прямой имеет вид: y t = 125,5 + 11,414t.
Подставляя в полученное уравнение соответствующее значение t, рассчитаем выравненные теоретические значения показателя (см. последнюю графу табл. 9.11). При этом сумма выравненных значений должна равняться сумме эмпирических значений (753), если это не так, то параметры уравнения определены неверно.
График, построенный по выравненным значениям показателя, будет отражать тенденцию развития явления во времени (рис. 9.1).
Рис. 9.1.
На основе полученного уравнения тренда можно строить прогнозные значения показателя для разных периодов времени путем подстановки в полученное уравнение значений временной компоненты. Например, для 2007 г. получим следующую ожидаемую величину дохода:
y i = 125,5 + 11,414t = 125,5 + 11,414 * 7 = 205,398 (млн руб.).
Выравнивание по параболе второго порядка. При ускоренном или замедленном изменении уровней динамического ряда, когда постоянны рассчитанные вторые разности уровней (цепные абсолютные приросты цепных абсолютных приростов), для аналитического выравнивания применяют параболу второго порядка:
y i = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 .
Параметры уравнения находят на основе метода наименьших квадратов, при этом обозначение условного показателя времени t абсолютно аналогично обозначению времени при построении прямой.
Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы имеет вид:
Если принять обозначение времени, при котором выполняется равенство , рассматриваемую систему уравнений можно упростить. Она примет следующий вид:
Проведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих динамику инвестиций за период 2001-2006 гг. (табл. 9.20).
| Показатель | Год | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | |
| Инвестиции, млн руб., y i | 98 | 100 | 130 | 193 | 280 | 391 |
| Первые разности (цепные абсолютные приросты) | - | 2 | 30 | 63 | 87 | 111 |
| Вторые разности | - | - | 28 | 33 | 24 | 24 |
Рассчитанные вторые разности демонстрируют относительное постоянство, поэтому в качестве аналитической функции для выравнивания возьмем уравнение параболы второго порядка. Наш выбор подтверждает и графический анализ данных (рис. 9.2).
Рис. 9.2.
Проведем необходимые расчеты для определения параметров уравнения в табл. 9.21.
| Год | Вложение в уставные капиталы, млн руб., y | t 2 | t 4 | y-t | y-t 2 | Выравненные значения, y i | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1999 | 98 | -5 | 25 | 625 | -490 | 2 450 | 97 |
| 2000 | 100 | -3 | 9 | 81 | -300 | 900 | 101 |
| 2001 | 130 | -1 | 1 | 1 | -130 | 130 | 132 |
| 2002 | 193 | 1 | 1 | 1 | 193 | 193 | 191 |
| 2003 | 280 | 3 | 9 | 81 | 840 | 2 520 | 278 |
| 2004 | 391 | 5 | 25 | 625 | 1 955 | 9 775 | 392 |
| Сумма | 1 192 | 0 | 70 | 1 414 | 2 068 | 15 968 | 1 192 |
Построим и решим систему уравнений (табл. 9.15):
Таким образом, искомое уравнение параболы имеет вид
y i =158,406 + 29,543t + 3,451t 2 .
Выравнивание по показательной функции. Если уровни ряда меняются в геометрической прогрессии, т.д. рассчитанные цепные коэффициенты роста относительно постоянны, то для выравнивания используют показательную функцию вида
Параметры показательного уравнения определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:
Если принять обозначении времени t, при котором выполняется условие , система гораздо упрощается:
Проведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение числа страховых компаний региона за период 2000-2006 гг. (табл. 9.22).
| Год | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Число страховых компаний, y i | 215 | 220 | 223 | 229 | 235 | 241 | 248 |
| Цепные коэффициенты роста | - | 1,023 | 1,014 | 1,027 | 1,026 | 1,026 | 1,029 |
Относительно постоянные цепные коэффициенты роста позволяют в качестве аналитического выражения тренда выбрать показательную функцию.
Проведем необходимые расчеты для определения параметров выбранного уравнения в табл. 9.23.
| Год | Число страховых компаний, y | Условное обозначение времени, t | t 2 | lgy | t – lgy | Выравненные значения, y t |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2000 | 215 | -3 | 9 | 2,332438 | -6,99732 | 210 |
| 2001 | 220 | -2 | 4 | 2,342423 | -4,68485 | 217 |
| 2002 | 223 | -1 | 1 | 2,348305 | -2,3483 | 223 |
| 2003 | 229 | 0 | 0 | 2,359835 | 0 | 230 |
| 2004 | 241 | 1 | 1 | 2,371068 | 2,371068 | 237 |
| 2005 | 241 | 2 | 4 | 2,382017 | 4,764034 | 244 |
| 2006 | 248 | 3 | 9 | 2,394452 | 7,183355 | 251 |
| Сумма | 1 611 | 0 | 28 | 16,53054 | 0,287991 | 1 611 |
Составим и решим систему нормальных уравнений:. Поэтому моменты (периоды) времени просто нумеруются, т.д. условному показателю времени присваиваются значения (1, 2, 3 и т.д.) начиная с первого уровня ряда.2
Подставив в полученное уравнение значения условного показателя времени t, рассчитаем выравненные значения y i и поместим их в расчетную таблицу. Как видим, выравненные значения достаточно близки к эмпирическим данным, что позволяет надеяться на получение достоверных прогнозов на основе построенной модели.
При проведении аналитического выравнивания зачастую бывает трудно заранее определить подходящий вид уравнения тренда, особенно если эмпирические данные графически явно не демонстрируют относимость к какой-либо аналитической функции. Тогда поступают следующим образом: строят несколько уравнений тренда. Затем для каждого из них вычисляют остаточную дисперсию и модель с наименьшей величиной остаточной дисперсии признают лучшей из имеющихся на данный момент.
Остаточная дисперсия исчисляется по формуле
Это более простой метод, но есть и другие, более сложные методы.
Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента . Показатели анализа динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения. При этом принято называть сравниваемый уровень отчетным, а уровень, с которым производится сравнение, базисным. Для расчета показателей анализа динамики на постоянной базе, каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается либо начальный уровень в ряду динамики, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Исчисляемые, при этом, показатели называются базисными. Для расчета показателей анализа динамики на переменной базе, каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели анализа динамики называются цепными. Важнейшим статистическим показателем анализа динамики является абсолютный прирост (сокращение), т.е. абсолютное изменение , характеризующее увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста .
Абсолютный прирост:
Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, т.е. общему приросту за весь промежуток времени
Для оценки интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени, исчисляют темпы роста (снижения) . Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному. Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы, называется коэффициентом роста, а в процентах – темпом роста. Эти показатели интенсивности отличаются только единицами измерения. Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть (долю) уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Темп роста всегда представляет собой положительное число.
Коэффициент роста:
Темп роста:
Таким образом,
Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь (если базисные коэффициенты исчислены по отношению к начальному уровню ряда динамики): произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь период:
а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.
Относительную оценку скорости измерения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения). Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах или в долях единицы (коэффициенты прироста).
Темп прироста:
Темп прироста (сокращения) можно получить, если из темпа роста, выраженного в процентах, вычесть 100%:
Коэффициент прироста получается вычитанием единицы из коэффициента роста:
При анализе динамики развития следует также знать, какие абсолютные значения скрываются за темпами роста и прироста. Чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают показателем, который называют абсолютным значением (содержанием) одного процента прироста и рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за этот период времени, %:
- Абсолютного прироста ;
- Коэффициента роста ;
- Темпа прироста ;
- Значение 1% прироста .
Базисная схема предусматривает сравнение анализируемого показателя (уровня ряда динамики ) с аналогичным, относящегося к одному и тому же периоду (году). При цепном методе анализа каждый последующий уровень ряда сравнивается (сопоставляется) с предыдущим.
|
Год |
Усл. обоз |
Объем произ-ва млн.руб. |
Абсолютный прирост |
Темп роста |
Темп прироста |
Знач. 1% прироста |
|||
|
баз. |
цепн. |
баз. |
цепн. |
баз. |
цепн. |
П=А i /T i П=0.01Y i-1 |
|||
|
Y i -Y 0 |
Y i -Y i-1 |
Y i /Y 0 |
Y i /Y i-1 |
T=T р -100 |
|||||
|
2000 |
Y 0 |
17,6 |
|||||||
|
2001 |
Y 1 |
18,0 |
0,17 |
||||||
|
2002 |
Y 2 |
18,9 |
0,18 |
||||||
|
2003 |
Y 3 |
22,7 |
0,19 |
||||||
|
2004 |
Y 4 |
25,0 |
0,23 |
||||||
|
2005 |
Y 5 |
30,0 |
12,4 |
0,25 |
|||||
|
2006 |
Y 6 |
37,0 |
19,4 |
0,30 |
|||||
|
169,2 |
19,4 |
||||||||
Определение среднегодовых показателей с применением формул расчета для средней (средняя арифметическая простая, средняя геометрическая простая).
1) Опр. среднегодовой абсолютный прирост :
2) Опр. среднегодовой коэффициент (темп) роста :
Либо по средней геометрической простой :
3) Опр. среднегодовой темп прироста :
6.1. Ряды динамики. Классификация динамических рядов
Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам.
1. По времени – моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.д. Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т.д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет.
2. По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин (табл. 6.1 – 6.3).
3. По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные и неполные хронологические ряды.
Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл. 6.1 и 6.2). Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. 6.3).
Таблица 6.1
Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл.
Таблица 6.3
Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год
Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней, при составлении ряда динамики должны приводиться в сопоставительный вид.
Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета. Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен.
Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.
6.2. Показатели анализа рядов динамики
При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности
изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих
показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут:
1) абсолютный прирост,
2) темпы роста,
3) темпы прироста,
4) абсолютное значение одного процента прироста.
Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице.
| Показатель | Базисный | Цепной |
|
Абсолютный прирост * |
Y i -Y 0 | Y i -Y i-1 |
|
Коэффициент роста (К р) |
Y i: Y 0 | Y i: Y i-1 |
|
Темп роста (Т р) |
(Y i: Y 0)×100 | (Y i: Y i-1)×100 |
|
Коэффициент прироста (К пр) ** |
 |
 |
|
Темп прироста (Т пр) |
 |
 |
| Абсолютное значение одного процента прироста (А) |  |
* 
** 
В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях.
Рассмотрим пример. Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах России за пять месяцев 1993 г.
| Показатель | Март | Апрель | Май | Июнь | Июль | Август |
|
Объем продаж, млн. руб. |
709,98
-
- |
1602,61 892,63 225,7 125,7 |
651,83 950,78 40,7 59,3 |
220,80 431,03 33,9 66,1 |
327,68 106,88 148,4 48,4 |
277,12 50,56 84,6 15,4 |
Система средних показателей динамики включает:
средний уровень ряда,
средний абсолютный прирост,
средний темп роста,
средний темп прироста.
Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.
Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом:
где n или (n +1) – общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y i (1 = 1, 2, ..., n или 1 = 0, 1, 2, ..., n).
Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов).
.
Средний темп роста:
где – средний коэффициент роста, рассчитанный как 
. Здесь К цеп – цепные коэффициенты роста;
Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии:
6.3. Изучение тенденции развития
Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его
уровней);
2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;
3) случайные колебания.
Изучение тренда включает два основных этапа:
1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;
2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией
полученных результатов.
Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.
1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).
2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).
При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.
Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.
3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели
где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;
e t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:
Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.).
Оценка параметров (a 0 , a 1 , a 2 , ...) осуществляется следующими
методами:
1) методом избранных точек,
2) методом наименьших расстояний,
3) методом наименьших квадратов (МНК).
В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:
Для линейной зависимости (f(t)=a 0 +a 1 t) параметр а 0 обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а 1 – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:
где k – число параметров функции, описывающей тенденцию;
n – число уровней ряда;
F факт сравнивается с F теор при v 1 = (k-1), v 2 = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F факт > F теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.
Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.
Таким образом, f(t) = у t = 10,128-0,073t для t= -13, -11, -9, ..., +13, или f(t) = у t = 11,077-0,1461 для t = 0, 1, ..., 13.
Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: a 0 = 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а 1 = -0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 ежегодно.
В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:
| Год | Число зарегистри- рованных браков, % |
t | у×t | t 2 | f(t) |
| 1977 | 11,2 | -13 | -145,6 | 169 | 11,077 |
| 1978 | 10,9 | -11 | -119,9 | 121 | 10,931 |
| 1979 | 10,7 | -9 | -96,3 | 81 | 10,785 |
| 1980 | 10,6 | -7 | -74,2 | 49 | 10,639 |
| 1981 | 10,6 | -5 | -53,2 | 25 | 10,493 |
| 1982 | 10,4 | -3 | -31,2 | 9 | 10,347 |
| 1983 | 10,4 | -1 | -10,4 | 1 | 10,202 |
| 1984 | 9,6 | 1 | 9,6 | 1 | 10,056 |
| 1985 | 9,7 | 3 | 29,1 | 9 | 9,910 |
